第五講 電力工程技術基礎知識（5）

　　一、 內容提示

　　這一講主要介紹2G311080 梁、柱的內力和強度計算方法

　　二、 重點難點

　　簡支梁內力及應力的計算方法、桿件強度的計算方法

　　三、 大綱要求

　　了解梁、柱的內力和強度計算方法

　　四、 內容講解

　　2G311080 了解梁、柱的內力和強度計算方法

　　2G311081 簡支梁內力及應力的計算方法

　　1．梁的內力

　?。?）梁和梁的基本類型

　　在建筑結構中以彎曲變形為主的構件稱為梁，如工業(yè)廠房中的吊車梁、民用建筑中的陽臺挑梁、屋面大梁、檁條、樓梯梁等。

　　彎曲變形的受力和變形特點是：荷載是垂直于梁的軸線的。梁受荷載后，其軸線由原來直線變成曲線。

　　在梁計算簡圖中一般可用軸線和相應的支座表示。兩支座之間距離稱為梁的跨度。梁只有一個跨度的稱為單跨梁，有兩個和兩個以上跨度的稱為多跨梁。單跨梁按支座的性質可分為以下三種基本類型。

　?、?簡支梁：簡支梁是一端固定鉸、一端可動鉸支座的梁。如房屋窗戶、門上的過梁，由于嵌入墻體部分較短，墻體只起支承作用。

　?、?懸臂梁：最常見的懸臂梁是民用建筑中的陽臺挑梁。它的約束特點是：梁的一端完全固定，另一端自由。

　　③ 外伸梁：外伸梁是一端或兩端有外伸部分的梁。

　　例題：一端固定鉸支座；一端可動鉸支座的梁，稱為（ ）。

　　A. 靜定多跨梁 B．懸臂梁

　　C．外伸梁 D．簡支梁

　　答案：D

　?。?） 梁的內力

　　① 剪力Q和彎矩M

　　求梁的內力的基本方法仍然是截面法。

　　見圖2G311081-1所示簡支梁在P力作用下平衡。現求距離左支座A為a的截面I-I的內力。

　　先利用靜力學平衡條件求出梁的支座反力YA和YB.

　　然后用假想截面沿I-I切開，分為左右兩部分，并取左邊部分梁作為研究

　　對象。根據整體平衡，局部必然平衡的原理，左段部分梁應該平衡。但在YA外力作用下，左段梁是不平衡的，它有兩種趨勢：一是向上移動，使左段梁沿I-I處相對于右段梁錯開，這是剪切現象；一是繞截面I-I順時針轉動，使梁彎曲，是彎曲現象。對應于這兩種趨勢，在截面I-I上必然有兩種內力來維持左段梁的平衡：一是平行于YA而方向與YA相反的內力Q；一是逆時針方向的內力偶矩M.前者阻止梁錯開，后者抵抗梁的彎曲。它們的大小均可用靜力學平衡條件解出。

　　由 ∑Y=0 YA+Q＝0

　　YA＝- Q

　　由 ∑M1＝0 YAa-M＝0

　　M＝YAa

　　內力Q稱為剪力，內力偶矩M稱為彎矩。

　　如果取右邊部分梁作為研究對象，根據作用與反作用原理，在右段梁截面I-I上也有一個剪力Q和一個彎矩M，和左段梁上的Q、M大小相等方向相反。

　　將上面的分析再作一歸納，可得出計算剪力Q和彎矩M的一般規(guī)律：

　　梁上任一截面上的剪力，在數值上等于這個截面以左（或以右）部分各外力

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　　任一截面上的彎矩，在數值上等于這個截面以左（或以右）各部分外力對該截面形心的力矩的代數和。

　?、诩袅和彎矩M的正負號

　　為使同一截面上的剪力和彎矩的符號，不因取截面左邊部分或右邊部分而不同，規(guī)定：

　　當外力使截面以左邊部分向上，或右邊部分向下相對錯動時，截面上的剪力為正，反之為負，見圖2G311081—2所示。當外力矩使梁彎曲后向下凸時，截面上的彎矩為正，反之為負，見圖2G311081—3所示。

　?。?）剪力圖和彎矩圖

　　①剪力方程和彎矩方程

　　用代數方程式把梁的各個截面上的剪力和彎矩的變化規(guī)律表達出來，分別稱為梁的剪力方程Q（x）和彎矩方程M（x）。

　　建立剪力方程和彎矩方程的方法，只要在梁上設一坐標系xoy，以x表示梁不同截面的位置，再用截面法取分離體，寫出平衡方程就可以得到。

　　可以利用代數方程式求最大最小值的方法來確定Q（x）和M（x）的最大值及其所在位置，但不直觀而且不方便。實際上常用方程的函數圖像表示出來，稱為剪力圖和彎矩圖。

　　②剪力圖和彎矩圖

　　剪力圖和彎矩圖是把剪力方程和彎矩方程所代表的函數圖像在一個坐標系里描繪出來。

　　作圖的方法是：以梁的軸線為橫坐標x軸，每個x值代表一個截面的位置，以與梁軸線垂直的縱坐標軸表示剪力（或彎矩）值。每個截面位置x對應一個該截面上的剪力Q（或彎矩M），可以在Q-x坐標系（或M-x坐標系）里定一個點，把所有點連起來就是剪力圖（或彎矩圖）。

　　建筑工程中規(guī)定畫剪力圖時，Q軸向上為正，M軸向下為正。

　　實際作圖時，先根據剪力方程（或彎矩方程）的圖形性質，確定幾個所謂控制點，計算出這幾個控制點的值，就可以作圖。作圖的目的是確定危險截面的位置和截面上相應的剪力（或彎矩）值。

　　（4）用疊加法作梁的剪力圖和彎矩圖

　　當單跨梁上作用有一組荷載時，可以比較方便地運用疊加原理作剪力圖和彎矩圖。荷載作用的疊加原理說明：一組荷載中每一個荷載單獨作用所產生的效果（支座反力及內力）之和等于這一組荷載共同作用所產生的效果（支座反力及內力）。根據這個原理，我們可以先分別做出每一個荷載單獨作用時的剪力圖和彎矩圖。然后，將同一截面的剪力和彎矩疊加起來，就得到最后的剪力圖和彎矩圖。這便是疊加原理。

　　例題：梁的支座反力求解，需要利用梁的（ ）。

　　A. 幾何尺寸 B．靜力平衡條件

　　C. 內力 D．物理條件

　　答案：B

　　2．梁的強度計算

　?。?）梁的正應力

　?、賰煞N應力

　　梁彎曲時橫截面上存在兩種內力：剪力Q和彎矩M.剪力和彎矩都是截面上應力合成的結果。在一般情況下，構件截面上任意一點都可能有兩種應力：剪應力 和正應力 .剪力是在截面內和截面平行的內力，它只能由剪應力合成。彎矩是力偶矩，不可能由剪應力合成，只能由垂直于截面的正應力合成。因此，對應于剪力和彎矩，梁橫截面上將有剪應力和正應力兩種應力。剪力Q引起剪應力 ，彎矩M引起正應力 .

　?、趶澢龖?/p>

　　在工程中常見的梁橫截面大都有一個對稱軸，如矩形、圓形、工字形、T字形梁等。由各截面的對稱軸組成的平面稱為縱向對稱面。梁上承受的荷載一般認為都作用在此縱向對稱面內，這使外力（包括荷載和支座反力）組成一個平面平衡力系。梁的軸線是在縱向對稱面內的。梁在這樣的平面力系作用下發(fā)生彎曲，彎曲后的軸線仍在縱向對稱面內。這種彎曲稱為平面彎曲。

　　與拉壓、扭轉時一樣，研究梁橫截面上正應力分布規(guī)律時，也要從觀察分析梁的變形著手。

　　（2）梁的正應力強度條件

　　建筑工程上所用的梁一般都是等截面梁。梁的破壞，首先發(fā)生在內力最大的截面上的應力最大處，該點稱危險點。此點應力為

　　式中 M——危險截面上最大彎矩；

　　Y——危險截面上距中性軸最遠的點的y坐標值；

　　I——橫截面對中性軸的慣性距。

　　為了使梁能安全使用，規(guī)定梁的最大應力不得大于材料的容許應力。

　　式中 W——為截面的抗彎截面系數，單位為“mm3”。

　　此式稱為彎曲正應力的強度條件。

　　正應力強度條件可進行三方面的強度計算：

　　①校核梁的強度。已知荷載、截面和材料，若 Ymax≤[J]，則梁是安全的。

　　②當已知梁的荷載、材料的容許應力和截面形狀時，可通過W，計算出截面尺寸。

　?、垡阎旱慕孛嫘螤?、尺寸、材料的容許應力，通過計算Mmax，確定梁所能承受的最大荷載。

　?。?）梁的合理截面

　　從正應力強度條件看出，最大正應力的大小與該截面承受的彎矩成正比；與該截面抗彎截面系數成反比。合理地安排荷載位置和支承狀況，可以使M減小。但當荷載位置和支承完全確定時，就只有通過提高W來改變梁的抗彎能力?？梢詮囊韵聝煞矫孢x擇；

　?、購恼龖Φ姆植继攸c考慮

　　梁彎曲時橫截面的正應力分布，是沿截面高度呈線性分布的。上、下邊緣處應力最大，近中性軸處最小。按強度條件計算時，上下邊緣的應力值達到材料容許應力時，中性軸附近大量材料還遠未發(fā)揮作用。因此，合理截面應該使中性軸附近的材料盡量少，邊緣部分的材料盡量多，這樣可以物盡其用。

　　一般地講，使面積的分布盡可能離中性軸遠是有利的，可以提高截面W，但要防止失穩(wěn)。

　?、趶牟牧闲再|考慮

　　塑性材料的拉、壓性能相等，用作梁時，就可以采用對中性軸上下對稱的截面，這樣可以使最大拉應力和最大壓應力同時達到材料的容許應力。而對于像鑄鐵、混凝土等拉、壓性能不等的材料，則應采用上下非對稱的截面，以便盡量使上下邊緣的應力同時達到容許拉應力和容許壓應力。

　　所以，混凝土梁的截面常常采用T形截面。

　　又如木材，它是各向異性材料，其順紋抗拉強度大于順紋剪切強度，所以即使工字形再好，考慮到材料的性質和加工方面的問題，也不采用，而常用矩形。

　　還有為減少由于自重引起的彎矩而設計的薄腹梁等等，都是合理截面的實例。

　?。?）梁的剪應力強度條件

　　一般條件下，梁的強度是由正應力強度條件控制的，較少發(fā)生剪應力引起的破壞。但是有時梁的跨度較小而荷載較大時，在靠近梁支座處也可能發(fā)生剪切破壞，這時就需要用剪應力強度條件來控制。

　　梁的剪應力強度條件應為式中，是材料的容許剪應力。一般情況下，正應力強度條件滿足后，剪應力強度條件常常自然滿足。

　　例題：根據梁的正應力強度條件，可以解決的三大問題是（ ）。

　　A. 設計截面尺寸、校核剛度、計算梁的最大荷載

　　B．穩(wěn)定性計算、校核剛度、計算梁的最大荷載

　　C. 設計截面尺寸、校核強度、計算梁的最大荷載

　　D. 裂度計算、校核剛度、計算梁的最大荷載

　　答案：C